Depuis le Moyen Âge, un franchissement est mentionné à cet endroit. Il assure la jonction entre le prieuré de Chamonix (l’actuelle église paroissiale), situé au pied du coteau en rive droite du torrent de l’Arve, et les terrains agricoles en rive gauche. Le pont de Cour fait l’objet d’une transaction entre la communauté de Chamonix et le chapitre de la collégiale de Sallanches (le prieuré de Chamonix) en 1635. De nombreux ponts en bois se succèdent à cet emplacement. Chamonix devenant une station de montagne renommée au début du XIXe siècle, ce pont revêt une importance économique pour les hôteliers et entrepreneurs de l’époque. Ainsi, au printemps 1853, il fait l’objet de travaux vérifiés par l’entrepreneur en travaux publics Joseph Pélissier. Il est alors jugé en mauvais état. MM. Favre et Mottu, propriétaires de l’hôtel Royal, de l’Union et du Palais de Cristal, qui considèrent cet ouvrage comme essentiel pour l’accès à leurs établissements, situés de part et d’autre de l’Arve.

Ce pont en bois, formé d’une seule travée avec une portée de 10 mètres, ne peut recevoir les équipages. Sa situation au centre de Chamonix, devant l’hôtel Royal et en tête du chemin du Montenvers, l’amène à supporter de fortes charges. En 1867-1868, il est envisagé d’établir un pont en granit avec une ouverture de 10 mètres. Deux projets sont étudiés en 1870 : l’un en fer avec des culées en maçonnerie, l’autre entièrement en maçonnerie. L’agent-voyer en chef préconise alors la réalisation d’un pont maçonné avec une ouverture de 12,5 mètres, doté d’une arche surbaissée, pour une dépense estimée à 17 500 francs. Ces travaux s’intègrent dans le plan d’alignement des chemins de petite communication n° 1 et n° 6, approuvé en séance du 23 juillet 1875 par le Conseil général.

L’adjudication des travaux est publiée le 4 novembre 1879 pour un montant estimatif de 15 333 francs. Le pont de Cour est construit en 1880. Cet ouvrage est ensuite élargi en partie sud pour donner naissance à une esplanade dans les années 1990. Le monument Saussure, situé sur la place du même nom en rive droite de l’Arve, est déplacé au centre de cette nouvelle esplanade.