Depuis le Moyen-âge, un franchissement est mentionné à cet endroit. Il fait la jonction entre le prieuré de Chamonix (l'actuelle église paroissiale) situé au pied du coteau en rive droite du torrent de l’Arve, et les terrains agricoles en rive gauche. Le Pont de Cour fait l’objet d’une transaction entre la communauté de Chamonix et le chapitre de la collégiale de Sallanches (le prieuré de Chamonix) en 1635. De nombreux ponts en bois vont se succéder à cet emplacement. Chamonix devenant une station de montagne renommée au début du XIXe siècle, ce pont revêt une importance économique pour les hôteliers et entrepreneurs de l'époque. Ainsi, au printemps 1853, il fait l'objet de travaux vérifiés par l'entrepreneur en travaux publics Joseph Pélissier. Il est jugé comme étant en mauvais état, M.M. Favre et Mottu, propriétaires de l'hôtel Royal, de l'Union et du Palais de Cristal considèrent cet ouvrage comme central pour l'accès de leurs établissements situés de part et d'autre de l'Arve. Ce pont en bois, formé d'une seule travée avec une portée de 10 mètres, ne peut recevoir les équipages. Sa triple position au centre de Chamonix, devant l'hôtel royal, et en tête du chemin du Montenvers l'amène à supporter de fortes charges. En 1867-1868, on pense établir un pont en granit avec une ouverture de 10 mètres. Les fondations peuvent être réalisées au mois d'octobre et les travaux repris en avril. Deux projets sont étudiés en 1870, l'un en fer avec des culées en maçonneries et l'autre entièrement en maçonnerie. L'agent voyer en chef préconise alors la réalisation du pont maçonné avec une ouverture de 12,5 mètres avec une arche surbaissée pour une dépense de 17 500 frs. Ces travaux s'intègrent dans le plan d'alignement des chemins de petite communication n°1 et n°6 approuvé en séance du 23 juillet 1875 par le Conseil général. L'adjudication des travaux est publiée le 4 novembre 1879 pour un montant estimatif de 15 333 frs. Le pont de Cour est construit en 1880. Cet ouvrage est alors élargi en partie sud pour donner naissance à une esplanade dans les années 1990. Le Monument Saussure qui se trouve sur la place du même nom, en rive droite de l’Arve est déplacé au centre de cette nouvelle esplanade.